闵可夫斯基不等式
在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski 不等式）是德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基提出的重要不等式，该不等式表明Lp空间是一个赋范向量空间。
赫尔曼·闵可夫斯基的主要工作在数论、代数和数学物理上。在数论上，他对二次型进行了重要的研究。在1881年法国大奖中，Minkowski深入钻研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet） 等人的论著。
公式简介
闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄罗斯的 Alexotas (现在变成立陶宛的 Kaunas)。父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国政府迫害犹太人，所以当赫尔曼·闵可夫斯基八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士王国的 Konigsberg (哥尼斯堡)定居，和另一位数学家戴维·希尔伯特（戴维·希尔伯特 ）的家仅一河之隔。闵可夫斯基有两个哥哥，他是幺弟。大哥 Max 在俄国时因为种族歧视，不能进学校读书，后来也一直没有受正规教育，长大后与他父亲一起经商，继承父业成为一个成功的商人。二哥就是发现胰岛素和糖尿病关联的著名医学家 Oscar Minkowski，人称“胰岛素之父”。赫尔曼·闵可夫斯基本人则因数学才能出众，早有神童之名，后来更是优秀的数学家。他们兄弟三人都十分杰出，在Konigsberg曾经轰动一时。
赫尔曼·闵可夫斯基的主要工作在数论、代数和数学物理上。在数论上，他对二次型进行了重要的研究。在1881年法国大奖中，Minkowski深入钻研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet） 等人的论著。因为Gauss曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，Minkowski由前人的工作中认识到把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。这样一来，原题就很容易从更一般的理论中得出，Minkowski交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。
公式定义
在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski inequality）表明Lp空间是一个赋范向量空间。设S是一个 度量空间，，那么，我们有：
如果，等号成立当且仅当，或者
闵可夫斯基不等式是Lp(S)中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：
对所有实数，这里n是S的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。
值得指出的是，如果，，则可以变为。
积分形式证明
我们考虑的p次幂：
（用三角形不等式展开 ）
（用 赫尔德不等式）
（利用，因为）
现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到:
因为，我们最终得出：
这就是我们所要的结论。
对于序列的情况，证明是完全类似的。