权方和不等式
权方和不等式表示n个数和的m+1次方与其加权的m+1次方和之间的关系，定义为:设，m为正整数，
则，等号当且仅当时成立。
权方和不等式是1985年，由湖北杨克昌教授命名的。1999年，杨飞在他发表的文章，对权方和不等式是否成立提出了疑问。三年后，俞武扬对其猜想进行证明，并举例进行计算。2008年，孔小波、孙文迪两位学者对权方和不等式进行了优化。其实质是赫尔德不等式的特例，权方和不等式的特点是分子的幂指数比分母高一次，m称为该不等式的权。
权方和不等式的证明可采用多种方法，如利用均值不等式来证明。权方和不等式可以解决数学中许多问题，如函数最值问题，分式不等式证明问题。
定义
权方和不等式特点是分子的幂指数比分母高一次，m称为该不等式的权，定义为:
设,m为正整数,则,等号当且仅当时成立。
简史
1985年，杨克昌教授在娄底师专学报上刊登了《权方和不等式》一文，给出一个关于若干个正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间关系的不等式，简称权方和不等式，并对其求证，举例说明了权方和不等式在不同计算中的应用。1999年，杨飞在他发表的《一道习题到两个优美的不等式》文末，对权方和不等式是否成立提出了疑问。2002年，俞武扬对其猜想运用凸函数定理进行证明，并运用解题。2008年，孔小波、孙文迪两位学者对权方和不等式进行了优化，提出了权方和不等式的姊妹不等式一说法，并进行证明。
权方和不等式与柯西-施瓦茨不等式和赫尔德不等式关系密切。柯西-施瓦茨不等式最早是由法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（法语：Augustin-Louis Cauchy）在1821年提出。俄国数学家布尼亚科夫斯基（俄语：Виктор Яковлевич Буняковский）在1859年提出奥古斯丁-路易·柯西施瓦茨不等式的积分形式，1888年德国数学家赫尔曼·施瓦茨（德语：Hermann Schwarz）给出积分形式的现代证明。赫尔德不等式，又称为Holder-Rogers不等式，是现代数学知识体系中具有重要地位的一个不等式，应用广泛。此不等式分别是奥图·赫尔德（Otto LudwigHolder，1859-1937，德国数学家）于1889年和L·J·罗杰斯(L.J.Rogers)于1888年发现的。
相关概念
赫尔德不等式
假设
则有
当时，得柯西-布尼亚科夫斯基不等式。
柯西不等式
设,，当且仅当时，等号成立。对柯西不等式进行乘积运算可得到权方和不等式，因此，权方和不等式是柯西不等式的特例。
当且仅当取等号。
证明：根据柯西不等式，有
因为都是正数
所以权方和不等式成立。
幂平均不等式
设，
当且仅当时等号成立。
詹森不等式
若为上的凸函数，则对任意
有
李亚普诺夫不等式
对于任意实数,如果, 则有。
闵可夫斯基不等式
闵可夫斯基不等式：设都是正实数，，则
。等号成立条件是成比例。
推导证明
运用均值不等式证明
换元并通过均值不等式证明。换元设,,可以得到并且权方和不等式 等价于
不等式： (1)。
现对不等式（1）进行证明：
当且仅当
即当时，（1）式成立，所以权方和不等式等号成立。
运用詹森不等式和李亚普诺夫不等式证明
设m为正整数，a、b,\u003e0(i=1,2,…，n),则。
由于,利用李亚普诺夫不等式有
整理可得
证毕。
运用凸函数定理证明
凸函数定理：设函数f(x)在区间I为下凸函数，
。
现取，,可知此函数在为下凸函数。
令
整理得：
当且仅当时，等号成立。
相关应用
垂足三角形定理的证明
可用权方和不等式证明垂足三角形的相关定理。
定理：关于垂足三角形的面积，有如下关系式。
证明:因
可知
由权方和不等式可知
根据三角不等式可得：，所以
根据三角不等式：
所以。
解方程组
解方程组
解：方程组内
根据方程组内（1）式、权方和不等式，可知
当且仅当时，上等式取等号
由此可得原方程组解为。
证明分式不等式
设a、b\u003e0,求证。
证明:由权方和不等式可得
现证明，则原式成立。
证毕。
求解函数极值
已知分别在n\u003e2,n\u003c0时的最小值以及在0\u003cn\u003c2时的最大值。
解：先将原函数化为
，当且仅当, 。
由权方和不等式得
，当且仅当，
。
相关推论
推论1
若
则当且仅当ps=qr时取等号。
证明：由闵可夫斯基不等式与权方和不等式
可得
当且仅当ps=qr时取等号。
推论2
已知时等号成立。
推论3
已知当且仅当时等号成立。