阶梯形矩阵
若矩阵A满足两条件：（1）若有零行（元素全为0的行），则零行应在最下方；（2）非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，则称此矩阵A为阶梯形矩阵。在线性代数中，这样的矩阵也被称为行阶梯形矩阵或行梯形式矩阵（Row Echelon Form）。
介绍
阶梯形矩阵的一个例子是：
2 0 2 1
0 5 2 -2
0 0 3 2
0 0 0 0
在这种矩阵中，非零行的首项系数（最左边的非零元素）必须位于全零行之上，并且每一行的首项系数都比上一行的首项系数更靠右。首项系数所在的列中，在首项系数下面的元素都必须是零。
行简化阶梯形
若矩阵A满足两条件：（1）它是阶梯形矩阵；（2）非零首元所在的列除了非零首元外，其余元素全为0，则称此矩阵A为行简化阶梯形矩阵。
2 0 01
0 5 0-2
0 0 32
0 0 01
行最简形
若矩阵满足两条件：（1）它是行简化阶梯形矩阵；（2）非零首元都为1，则称此矩阵A为行最简形矩阵。一个行最简形矩阵的例子是：
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
注意，简化列阶梯形矩阵的左部并不总是单位阵，例如：
1 0 1/2 0
0 1 -1/3 0
0 0 0 1
因为第3列并不包含任何列的首项系数。
矩阵变换
下列三种变换称为矩阵的行初等变换：
（1）对调两行；
（2）以非零数k乘以某一行的所有元素；
（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。
将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。
有如下定理成立：
（1）任一矩阵可经过有限次初等行变换化成阶梯形矩阵；
（2）任一矩阵可经过有限次初等行变换化成行最简形矩阵；
（3）矩阵在经过初等行变换化为最简形矩阵后，再经过初等列变换，还可以化为最简形矩阵，因此，任一矩阵可经过有限次初等变换化成标准形矩阵。
一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的（行阶梯形矩阵中非零行的行数也是惟一确定的）。
示例
正确的行阶梯形矩阵示例：
1 8 9
0 1 2
0 0 1
错误的行阶梯形矩阵示例：
1 0 0 -8
0 1 0 0
0 4 1 26
在这个错误的示例中，第二列的第一非零项1的下方的列项不全为零（有非零项4），违反了行阶梯形矩阵的定义。
简化行阶梯形矩阵的正确示例：
1 0 0
0 1 0
0 0 1
以及包含非全零行的示例：
1 9 0 5 0 17
0 0 1 0 0 -3
0 0 0 0 1 32
0 0 0 0 0 0
这些示例展示了行阶梯形矩阵和简化行阶梯形矩阵的不同形式和要求。