威尔逊定理
在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )，但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大。
证明
充分性
如果“p”不是素数，当，若p不是平方数，则存在两个不等的因数a，b使得;若p是完全平方数即，
必要性
若p是素数，取集合
那么A中的元素是不是恰好两两联会呢? 不一定，但只需考虑这种情况
由此可得:
其余两两配对；故而
必要性证明
证明：若p为质数，则p可整除
方法一
，命题显然成立；
，命题显然成立；
假设B中被p除余一的数是γa:
一若
二若
由一二三知
a不同时，γ也相异；若，因，，而B中的元素关于mod p不同余，可见
即A中的每一个a均可找到与其联会的
又，a不同时，γ也相异。
因此，A中的偶数个
∴
∴
从而p可整除
方法二
对于偶质数2，命题显然成立；
对于奇质数，令中不会有对于除数p同余的两个数；事实上则，B中的元素不可能被p除尽。于是B中被p除得的余数形成集合
假设b中被p除余一的数是γa:
一若
二若
三若，故应有此与矛盾，故不成立；
由一二三知
a不同时，γ也相异；若，因，而B中的元素关于mod p不同余，可见
依次取a为
即
从而
又
则
从而p可整除