有界格

有界格是具有最大元与最小元的格，通常以0，1分别记最小元与最大元。有限个元素a1，A2，…，an所构成的格是有界格，其最小元是a1·a2·…·an，最大元是a1+a2+…+an 。

基本介绍

设S是格，如果存在元素a∈S，对于任意的，都有，则称a为格S的全下界；如果存在元素b∈S，对于任意的，都有，则称b为格S的全上界。

定理设S是格，若格S存在全下界或全上界，则一定是唯一的。

证明先证明全下界若存在，则必定唯一。

假设格S有全下界a和b，a，，根据全下界的定义有。再根据偏序关系≼的反对称性，必有a=b。即全下界唯一。

同理可证全上界若存在必唯一。

由于全上界和全下界的唯一性，一般将格S的全下界记为0，全上界记为1。

有界格设S是格，若S存在全下界和全上界，则称该格为有界格，并将S记为。

【例1】设S是一个集合，则S的幂集格P(S)是有界格，其中空集∅是全下界，集合S是全上界。

【例2】 (1)设A是有限集合，则的零元是∅，单元是A。

(2)在正整数集合Z、关于整除关系构成的格中，零元是1，无单元。

(3)在整数集合Z关于小于等于关系构成的格中，无零元，无单元。

定理1 任何有限格一定是有界格。

定理2 设S是一个有界格，则对任意的有

证明

因为a∨1∈S，且1是全上界，所以，又因为，因此。

因为，所以口，又因为，因此。类似可证其余二式成立。