正八面体

正八面体，一种正多面体，也是一种正轴体，面为8个等边三角形，八面体的对角面为正方形，共三个，并且两两垂直。交线同样两两垂直。二面角为109°28′16.3″。

正八面体每四条棱可以成为一个正方形，共有三个独立的正方形。

性质

顶点数目：6

边数目：12

面数目：8

当边长为a时：

表面积：

体积：

外接球半径：(外接球即过正八面体各顶点的球)

内切球半径： （内切球即与正八面体各面相切的球）

中国交建球半径：（中交球即过正八面体各边中点的球）

基本信息

正八面体是五种正多面体的第三种，是三维的正轴体，有6个顶点、12条边和8个面。它由八个等边三角形构成，也可以看做上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成。正八面体的对偶多面体是立方体。

正八面体内嵌在立方体中时，6个顶点分别位于立方体的面心：

正八面体体积 : 立方体体积

坐标系

以棱长为的正八面体的几何中心作为原点，将正八面体的对角线作为x,y,z轴建立三维直角坐标系（正八面体的3条对角线两两正交，这也是正八面体被叫做“正轴形”的原因），则我们能将正八面体的顶点坐标记为

( ±1, 0, 0 )

( 0, ±1, 0 )

( 0, 0, ±1 )

正八面体表面方程为：

更一般的，如果正八面体的对角线平行于坐标轴，中心为()，外接圆半径为r（棱长为），则正八面体表面方程为：

如果中心在原点的正八面体被拉长，成为菱形体，则更一般的八面体方程为

其内接于椭球体

表面积S和体积V为：

它的惯性张量I是：

当时，菱形体为上述正八面体。

正交投影

正八面体可以以多种不同的方向被正交投影到二维平面，以下表格展示了几种特殊的投影：

质

对称性

正八面体作为3维的正轴体正多面体，自身拥有较高的对称性，它的所有面都是不可区分的。可是我们也可以想象将正八面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使正八面体拥有不同的对称性。正八面体的对称群是（正八面体群），是三维的超正八面体群。在此对称性下，正八面体的所有面都带有相同对“颜色”，对称性最高，群阶48。该群的子群体现了正八面体更低的对称性：（群阶24），截半正四面体的对称群；（群阶12），三角反棱柱的对称群；（群阶16），四角双棱锥（正四棱柱的对联）的对称群；（群阶8），三维长菱体（三维长方体的对偶）的对称群。

对偶性

正八面体的对偶多面体是立方体。

当正八面体在立方体之内：

正八面体体积: 立方体体积

历史

柏拉图认为正八面体介于正四面体（火）和正二十面体（水）之间，因此认为它代表的元素是空气。

参考资料