素理想
素理想对应着不可约的代数簇，极大理想对应点。理想数上有算术基本定理，即可以唯一分解成素理想的乘积。这里的素理想就是推广了整数环中的素数的概念。理想理论后为戴德金所发展，现在已成为代数数论、交换代数等理论的基础内容之一。
定义
一个环R中的理想P如果满足以下条件就称作素理想：对任何元素a和b，如果乘积ab属于P，那么a或b中至少有一个属于P。素理想是一个真理想，即P ≠ R。对于交换环的理想A和B，若有AB ⊆ P，则A ⊆ P或B ⊆ P。
例子
1. Z是整数环，R中任何理想都是主理想，即由一个整数d生成的理想(d)。换言之，该理想是由d的全体倍数构成的集合。(d)是素理想当且仅当d是素数。
2. Q是有理数域，R中的理想只有零理想和R本身。零理想显然是素理想。
3. F[x]是域F上的多项式环——即系数取自F的多项式全体构成的集合，R中的素理想就是由不可约多项式生成的理想。
4. C[X, Y]表示复系数二元多项式环，由多项式Y^2 − X^3 − X − 1生成的理想是素理想。
5. Z[X]中，由2和X生成的理想是素理想，它由所有系数项为偶数的多项式组成。
性质
2. P是R的极大理想当且仅当商环R/P是域。因此极大理想必是素理想。
3. R的零理想是素理想当且仅当R是整环。
4. 交换环R中的理想I是素理想，当且仅当R \ I在乘法运算下封闭。
5. 每一个非零的交换环都含有至少一个素理想，这是克鲁尔定理的一个直接结果。
6. 一个交换环是整环，当且仅当{0}是一个素理想。
7. 一个交换环是体，当且仅当{0}是唯一的素理想，或等价地，当且仅当{0}是一个极大理想。
8. 一个素理想在环同态下的原像是素理想。
9. 两个素理想的和不一定是素理想。
背景
素理想一词最早可追溯到皮耶·德·费玛最后的定理（也称费马大定理）的研究，即证明著名的费马方程：
当时没有非零整数解，这一问题的研究首先被扩展到n次单位根扩域上--分圆域来讨论。人们试图利用类似整数的算术基本定理来证明方程无解。但遗憾的是，分圆域上算术基本定理不一定成立。为了弥补这一缺陷，库莫引入了理想数的概念--即“理想”的雏形。理想数上有算术基本定理，可以分解成素理想的乘积。这里的素理想当然就是推广了整数环中的素数的概念， 理想理论后为戴德金所发展，现在已成为代数数论、交换代数等理论的基础内容之一。
与几何的联系
对于代数闭域 k（比如复数域）上的多项式环，希尔伯特基定理指出：任何理想I总是由有限个多项式生成. 这些多项式定义了n维仿射空间中的代数簇即这些多项式方程组的零点集。代数几何的基本结论表明，在所有根理想的幂集和所有代数簇的集族之间存在一一对应。
非交换环的素理想
如果R是非交换环，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下两个性质：
1. 只要a，b是R的两个元素，使得对于R的所有元素r，它们的乘积arb都位于P内，那么要么a位于P内，要么b位于P内。
2. P不等于整个环R。
对于交换环，这个定义等价于前面所述的定义。对于非交换环，这两个定义是不同的。使ab位于P内意味着a或b位于P内的理想称为完全素理想。完全素理想是素理想，但反过来不成立。例如，n × n矩阵环中的零理想是素理想，但不是完全素理想。
例子
1. 任何极大理想都是素理想。
2. 任何本原理想都是素理想。
3. 任何素环的零理想都是素理想。