巴拿赫不动点定理
巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具；它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。
概述
巴拿赫不动点这个定理是以斯特凡·巴拿赫(1892–1945)命名的，他在1922年提出了这个定理。
定理
设为非空的完备度量空间。设为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数，使得对于所有X内的x和y，都有：
那么映射T在X内有且只有一个不动点（这就是说，）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素开始，并定义一个迭代序列，对于。这个序列收敛，且极限为。以下的不等式描述了收敛的速率：
等价地：
且
满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。
注意对于所有不同的x和y都有的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映射，就没有不动点。但是，如果空间X是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。
当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是恰当地定义X，使得T实际上把元素从X映射到X，也就是说，Tx总是X的一个元素。
证明
选择任何。对于每一个，定义。我们声称对于所有的，以下等式都成立：
我们用数学归纳法来证明。对于n=1的情况，命题是成立的，这是因为：
假设命题对于某个是成立的。那么，我们有：
从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的，以上的命题都成立。
设。由于，我们便可以找出一个较大的，使得：
利用以上的命题，我们便有对于任何以及，都有：
第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中，因此它收敛。以上表明是内的一个奥古斯丁-路易·柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设。我们作出两个声明：第一，是T的一个不动点，也就是说，；第二，是T在中的唯一的不动点。
为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的，都有：
由于当时，，因此根据夹挤定理，可知。这表明当时，。但当时，，且极限是唯一的；因此，一定是的情况。
为了证明第二个命题，我们假设y也满足Ty = y。那么：
由于，因此上式意味着，这表明，于是根据正定性，，定理得证。
逆定理
巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的：
设为一个抽象集合的映射，使得每一个迭代都有一个唯一的不动点。设q为一个实数，。那么存在X上的一个完备度量，使得f是压缩映射，且q是压缩常数。